理学部本科督导专家 邹永魁教授

今天我走进了数学学院王春朋教授的课堂，他讲授的课程是“数学分析Ⅱ”，这门课程面向数学学院一年级的学生，是数学学科最重要的基础课程。

这节课，王老师讲授《数学分析Ⅱ》的第十章第二节——函数级数的和函数的性质。这节课的主要内容是研究函数级数各项所共有的性质能否传递到它们的和函数上，王老师具体讲解了函数级数的连续性定理，逐项积分定理，逐项微分定理这三个定理的内容与证明，理解和掌握“三段法”的技巧及其应用。该节所涉及证明需要用到数学分析课程中很多已经学过的知识点，需要学生能够充分理解所学知识，并进行知识的综合利用。对于老师而言，能够让学生理解复杂的证明过程，将证明过程中所用到的思想和技巧传递给学生是本节课的一大挑战。

课堂上，我发现王老师采用了“先学后教”的方式进行教学。他首先着重强调了本章的学习重点，复习了上节课的内容，然后详细讲解了函数序列的三个定理及其证明。在讲解过程中，对于定理的内容，王老师会将每个定理分成几个小点，并注重分析每个小点的细节和内涵，以帮助学生对定理条件和结论有深刻的认识，掌握其本质；对于定理的证明，王老师会先分析证明过程中用到的主要思想，梳理证明思路，然后互动式地按步骤完整讲解证明过程，思路和条理非常清晰。例如，在讲解函数序列的逐项积分定理时，他先将这一定理分成三个小点——条件中函数列的一致收敛，函数列中每个函数都在闭区间上可积，结论是极限函数可积，并且函数列积分值的极限就是极限函数的积分值。王老师强调了其中的细节问题，如：结论的本质是积分运算和极限运算的换序。将定理分析透彻后，王老师提出证明的主要思想是——利用函数可积的充要条件去证明和函数可积，将条件转化成数学语言后基于严密的推理过程得出最后的结论，整个讲解过程流畅自然，条理清晰，便于理解。

我发现，王老师的教学不止于课本。他并不局限于课本上给出的一种证明思路，还会向学生提问是否可以用可积的定义来证明这些定理，以帮助学生从多个角度深刻理解定理。而当讲解完这三个定理后，王老师还会提出对比，引导学生分析每个条件的作用，如果没有某个条件，是否仍然能得到相应的结论。不仅如此，王老师还结合了高年级的授课知识，给出一些适用范围更广的定理结论。例如，他弱化逐项微分定理的条件，引入实变函数中勒贝格积分对应的条件，并通过对比分析让学生体会不同之处，运用相关定理的对比教学培养学生的思维能力。

王老师精心规划的课堂令人印象深刻。他的课程安排突出重点，主次分明，比如当讲授函数级数的相关定理时，因为每个定理都可以由函数序列的定理类比得到，王老师就用简明的语言直接给出，不浪费时间。而且王老师注重课堂反应，他经常与学生互动，鼓励他们提问和思考；他会主动询问学生对于定理和证明的理解，引导他们说出自己的观点并进行讨论；他对学生的问题给予耐心解答，确保每个学生都能理解和掌握所学内容。比如，当讲解一个对于学生来说不是特别好理解的定理后，他会问学生，没有听懂的同学举手，当有人举手时，他会询问学生不理解的地方在哪里，针对学生的误区进行解答。

还值得注意的是王老师的板书规范，不仅体现了教学的主要内容、重点难点，还形成了一定的知识体系，使学生能清晰地明白老师所强调的内容。我发现大多数学生都在记笔记，并且上课过程中同学们都很投入，一直跟着老师的节奏，课堂氛围很好。王老师还注重对学生学习方法的指导，培养学生自主学习的能力，让学生“学会不如会学”。

总体来说，王春朋教授采用启发式和互动式教学，深入浅出，生动灵活，注重培养学生的思维能力和问题解决能力。他的教学方法和引导方式使得学生对数学分析的学习更加主动和深入，也提升了学生的自主学习能力。我相信学生们在他的课堂上会受益匪浅。